syms x
f = exp(-2*x^2); %our function
ezplot(f,[-2,2]) % plot of our function
FT = fourier(f) % Fourier transform
将其写入到我们的matlab程序模块中。
2、我们运行上面的傅立叶变换程序代码，将得出运行结果：FT = (2^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-w^2/8))/2。
3、如果我们需要更高级的显示，我们修改上述代码即可，如使用ezplot(FT)作傅里叶变换折线图。
1.离散序列的傅里叶变换DTFT(Discrete Time Fourier Transform)
代码：
1 N=8; %原离散信号有8点
2 n=[0:1:N-1] %原信号是1行8列的矩阵
3 xn=0.5.^n; %构建原始信号，为指数信号
5 w=[-800:1:800]*4*pi/800; %频域共-800----+800 的长度(本应是无穷，高频分量很少，故省去)
6 X=xn*exp(-j*(n'*w)); %求dtft变换，采用原始定义的方法，对复指数分量求和而得
7 subplot(311)
8 stem(n,xn);
9 title('原始信号(指数信号)');
10 subplot(312);
11 plot(w/pi,abs(X));
12 title('DTFT变换')
结果：
分析：可见，离散序列的dtft变换是周期的，这也符合Nyquist采样定理的描述，连续时间信号经周期采样之后，所得的离散信号的频谱是原连续信号频谱的周期延拓。
2.离散傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)
与1中DTFT不一样的是，DTFT的求和区间是整个频域，这对计算机的计算来说是不可以实现的，DFT就是序列的有限傅里叶变换。实际上，1中我给的代码也只是对频域的-800----+800中间的1601点求了和，也不是无数次求和。
实现代码：
N=8; %原离散信号有8点n=[0:1:N-1] %原信号是1行8列的矩阵
xn=0.5.^n; %构建原始信号，为指数信号
w=[-8:1:8]*4*pi/8; %频域共-800----+800 的长度（本应是无穷，高频分量很少，故省去）
X=xn*exp(-j*(n'*w)); %求dtft变换，采用原始定义的方法，对复指数分量求和而得
subplot(311)
stem(n,xn);
w1=[-4:1:4]*4*pi/4;
X1=xn*exp(-j*(n'*w1));
title('原始信号(指数信号)');
subplot(312);
stem(w/pi,abs(X));
title('原信号的16点DFT变换')
subplot(313)
stem(w1/pi,abs(X1));
title('原信号的8点DFT变换')
分析：DFT只是DTFT的现实版本，因为DTFT要求求和区间无穷，而DFT只在有限点内求和。
3.快速傅里叶变换FFT(Fast Fourier Transform)
虽然DFT相比DTFT缩减了很大的复杂度，但是任然有相当大的计算量，不利于信息的实时有效处理，1965年发现的DFT解决了这一问题。
实现代码：
1 N=64; %原离散信号有8点
2 n=[0:1:N-1] %原信号是1行8列的矩阵
3 xn=0.5.^n; %构建原始信号，为指数信号
4 Xk=fft(xn,N);
5 subplot(221);
6 stem(n,xn);
7 title('原信号');
8 subplot(212);
9 stem(n,abs(Xk));
10 title('FFT变换')
分析：fft变换的频率中心不在0点，这是fft算法造成的，把fft改为fftshift可以将频率中心移到0点。
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